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[编程代码] 数据结构 Java数据结构 二叉树

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黑夜隐士 2021-12-13 08:08:09 | 显示全部楼层 |阅读模式

文章目录

二叉树

1. 树形结构

1.1 概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

  • 有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点
  • 除根节点外，其余节点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i<= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
  • 树是递归定义的。
    在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
叶子节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点孩
子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林

1.2 树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

  1. class Node {
  2. int value;// 树中存储的数据
  3. Node firstChild;// 第一个孩子引用
  4. Node nextBrother;// 下一个兄弟引用
  5. }
复制代码

在这里插入图片描述

1.3 树的应用

文件系统管理（目录和文件）
在这里插入图片描述

2. 二叉树

2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉
树组成。
二叉树的特点：
1. 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于 2 的结点。
2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

2.2 二叉树的基本形态

一般二叉树都是由以下几个基本形态结合而形成的。
在这里插入图片描述

2.3 两种特殊的二叉树

  1. 满二叉树: 一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
  2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

在这里插入图片描述

2.4 二叉树的性质

  1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2i-1 (i>0)个结点
  2. 若规定只有根节点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 2k-1(k>=0)
  3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
  4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log2(n+1) 上取整
  5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
    若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
    若2i+1 若2i+2

比如：假设一棵完全二叉树中总共有1000个节点，则该二叉树中 500 个叶子节点， 500 个非叶子节点， 1 个节点只有左孩子，0个只有右孩子。

2.5 二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。
顺序存储 存储的是完全二叉树
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

  1. // 孩子表示法
  2. class Node {
  3. int val;// 数据域
  4. Node left;// 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
  5. Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
  6. }
  8. // 孩子双亲表示法
  9. class Node {
  10. int val;// 数据域
  11. Node left;// 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
  12. Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
  13. Node parent; // 当前节点的根节点
  14. }
复制代码

2.6 二叉树的遍历

如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

  1. NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结—>根的左子树—>根的右子树。
  2. LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。
  3. LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

2.7 二叉树的基本操作

第一步: 首先这里我们用穷举法先来创建一个二叉树来测试这些操作.

  1. package BinaryTree;
  2. class TreeNode{
  3. public char val;
  4. public TreeNode left;
  5. public TreeNode right;
  7. public TreeNode(char val){
  8. this.val = val;
  9. }
  10. }
  11. public class BinaryTree {
  12. public TreeNode createTree() {
  13. TreeNode A = new TreeNode('A');
  14. TreeNode B = new TreeNode('B');
  15. TreeNode C = new TreeNode('C');
  16. TreeNode D = new TreeNode('D');
  17. TreeNode E = new TreeNode('E');
  18. TreeNode F = new TreeNode('F');
  19. TreeNode G = new TreeNode('G');
  20. TreeNode H = new TreeNode('H');
  21. A.left = B;
  22. A.right = C;
  23. B.left = D;
  24. B.right = E;
  25. E.right = H;
  26. C.left = F;
  27. C.right = G;
  28. return A;
  29. }
  30. }
复制代码

此时的二叉树图形如图:
在这里插入图片描述

第二步: 用代码实现3种遍历二叉树的方法.

  1. // 前序遍历
  2. void preOrderTraversal(TreeNode root) {
  3. if (root == null) {
  4. return;
  5. }
  6. System.out.print(root.val + " ");
  7. preOrderTraversal(root.left);
  8. preOrderTraversal(root.right);
  9. }
  10. // 中序遍历
  11. void inOrderTraversal(TreeNode root){
  12. if(root == null){
  13. return;
  14. }
  15. inOrderTraversal(root.left);
  16. System.out.print(root.val + " ");
  17. inOrderTraversal(root.right);
  18. }
  19. // 后序遍历
  20. void postOrderTraversal(TreeNode root){
  21. if(root == null){
  22. return;
  23. }
  24. postOrderTraversal(root.left);
  25. postOrderTraversal(root.right);
  26. System.out.print(root.val + " ");
  27. }
复制代码

第三步: 两种方法求结点个数

  1. // 遍历思路-求结点个数
  2. static int size = 0;
  3. void getSize1(TreeNode root){
  4. if(root == null){
  5. return;
  6. }
  7. size++;
  8. getSize1(root.left);
  9. getSize1(root.right);
  10. }
  12. // 子问题思路-求结点个数
  13. int getSize2(TreeNode root){
  14. if(root == null){
  15. return 0;
  16. }
  17. return getSize2(root.left) + getSize2(root.right) + 1;
  18. }
复制代码

第四步: 两种方法求叶子结点的个数

  1. // 遍历思路-求叶子结点个数
  2. static int leafSize = 0;
  3. void getLeafSize1(TreeNode root){
  4. if(root == null){
  5. return ;
  6. }
  7. if(root.left == null && root.right==null){
  8. leafSize++;
  9. }
  10. getLeafSize1(root.left);
  11. getLeafSize1(root.right);
  12. }
  14. // 子问题思路-求叶子结点个数
  15. int getLeafSize2(TreeNode root){
  16. if(root == null){
  17. return 0;
  18. }
  19. if(root.left == null && root.right ==null){
  20. return 1;
  21. }
  22. return getLeafSize2(root.left) + getLeafSize2(root.right);
  23. }
复制代码

第五步: 求第 k 层结点个数

  1. int getKLevelSize(TreeNode root,int k){
  2. if(root == null){
  3. return 0;
  4. }
  5. if(k == 1){
  6. return 1;
  7. }
  8. return getKLevelSize(root.left,k-1) + getKLevelSize(root.right,k-1) ;
  9. }
复制代码

第六步: 查找val所在的位置

  1. // 查找 val 所在结点，没有找到返回 null
  2. // 按照 根 -> 左子树 -> 右子树的顺序进行查找
  3. // 一旦找到，立即返回，不需要继续在其他位置查找
  4. TreeNode find(TreeNode root, char val){
  5. if(root == null){
  6. return null;
  7. }
  8. if(root.val == val){
  9. return root;
  10. }
  11. TreeNode ret = find(root.left,val);
  12. if(ret != null){
  13. return ret;
  14. }
  15. ret = find(root.right,val);
  16. if(ret != null){
  17. return ret;
  18. }
  19. return null;
  20. }
复制代码

第七步: 获取二叉树的高度

  1. // 获取二叉树的高度
  2. int getHeight(TreeNode root){
  3. if(root == null){
  4. return 0;
  5. }
  6. int leftHeight = getHeight(root.left);
  7. int rightHeight = getHeight(root.right);
  8. return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
  9. }
复制代码

第八步: 运行测试结果

  1. public static void main(String[] args) {
  2. BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
  3. TreeNode root = binaryTree.createTree();
  4. System.out.print("前序遍历结果: ");
  5. binaryTree.preOrderTraversal(root);
  6. System.out.println();
  7. System.out.print("中序遍历结果: ");
  8. binaryTree.inOrderTraversal(root);
  9. System.out.println();
  10. System.out.print("后序遍历结果: ");
  11. binaryTree.postOrderTraversal(root);
  12. System.out.println();
  13. binaryTree.getSize1(root);
  14. System.out.println("结点数: "+BinaryTree.size);
  15. int ret = binaryTree.getSize2(root);
  16. System.out.println("结点数: "+ret);
  18. binaryTree.getLeafSize1(root);
  19. System.out.println("叶子节点数: "+BinaryTree.leafSize);
  20. int ret1 = binaryTree.getLeafSize2(root);
  21. System.out.println("叶子节点数: "+ret1);
  23. int ret2 = binaryTree.getKLevelSize(root,3);
  24. System.out.println("求k层节点数: "+ret2);
  26. TreeNode b= binaryTree.find(root,'H');
  27. System.out.println(b.val);
  29. System.out.println("求二叉树的深度: "+binaryTree.getHeight(root));
  30. }
复制代码

运行结果:
在这里插入图片描述

2.8 层序遍历

设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

a) 层序遍历代码实现:

  1. // 层序遍历
  2. void levelOrderTraversal(TreeNode root){
  3. if(root == null) return ;
  4. Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
  5. queue.offer(root);
  7. while(!queue.isEmpty()){
  8. TreeNode top = queue.poll();
  9. System.out.print(top.val+" ");
  10. if(top.left != null)
  11. queue.offer(top.left);
  12. if(top.right != null)
  13. queue.offer(top.right);
  14. }
  15. System.out.println();
  16. }
复制代码

b) 判断一棵树是不是完全二叉树

方法一思路:

1. 将树按照层序遍历的方法,放入队列中,不同的是将左右节点都放入队列中,不论节点是否为空都放入
2. 循环取出队首元素,如果队首为null就结束循环.
3. 如果此时队列不为空.
①队列还有节点,那么就不是完全二叉树
②队列全是null,那么就是完全二叉树.
4. 循环结束那么就是true;

代码实现:
  1. boolean isCompleteTree(TreeNode root) {
  2. if (root == null) return true;
  3. Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
  4. queue.offer(root);
  5. while (!queue.isEmpty()) {
  6. TreeNode top = queue.poll();
  7. //左子树 和 右子树 都放入队列(不论是不是null)
  8. if (top != null) {
  9. queue.offer(top.left);
  10. queue.offer(top.right);
  11. } else {
  12. //如果队首为空就跳出循环
  13. break;
  14. }
  15. }
  16. //如果队不为空,说明是因为break结束的循环.那么就需要判断队里的元素
  17. while (!queue.isEmpty()) {
  18. TreeNode cur = queue.peek();
  19. //如果队首为空,就出队
  20. if (cur == null){
  21. queue.poll();
  22. }else {
  23. //遇到不为空的节点就表示不是完全二叉树.
  24. return false;
  25. }
  26. }
  27. //队空既为true;
  28. return true;
  29. }
复制代码

方法二思路:

1. 观察完全二叉树的图形我们可以看出来,每个节点要么有2个子节点,要么没有节点,要么就只有一个左节点没有右节点.
2. 遍历判断
①如果左子树和右子树都不为空,就入队.
②如果左子树存在 右子树不存在,那么进行第二个判断.
③如果左子树不存在 右子树存在,那么直接false
④如果左子树右子树都不存在,那么也进入第二个判断.
3. 第二个判断,判断是否接下来的左子树和右子树都为空,如果不为空,就是false;一直为空就是true;

代码实现:
  1. boolean isCompleteTree1(TreeNode root) {
  2. Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
  3. queue.offer(root);
  4. boolean isComplete = true;
  6. while(!queue.isEmpty()){
  7. TreeNode top = queue.poll();
  8. if(isComplete) {
  9. //1.都不为空 入队
  10. if (top.left != null && top.right != null) {
  11. queue.offer(top.left);
  12. queue.offer(top.right);
  13. } else if (top.left != null && top.right == null) {
  14. //2.左子树不为空,右子树为空,进入第二个判断
  15. isComplete = false;
  16. queue.offer(top.left);
  17. } else if (top.left == null && top.right != null) {
  18. //3.左子树为空,右子树不为空,不符合完全二叉树概念false
  19. return false;
  20. } else {
  21. //4.左右子树都为空,进入第二个判断
  22. isComplete = false;
  23. }
  24. }else {
  25. //第2判断
  27. //如果后面的节点还有子树,那就不符合完全二叉树概念 false
  28. if(top.left != null || top.right != null){
  29. return false;
  30. }
  31. }
  32. }
  33. //循环遍历结束,那就是满足条件,返回true;
  34. return true;
  35. }
复制代码

2.9 前中后序的非递归实现

①前序遍历 (非递归)

  1. // 前序遍历
  2. void preOrderTraversal(TreeNode root) {
  3. if (root == null) return;
  4. TreeNode cur = root;
  5. Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
  6. while (cur != null || !stack.empty()) {
  7. while (cur != null) {
  8. stack.push(cur);
  9. System.out.print(cur.val+" ");
  10. cur = cur.left;
  11. }
  12. TreeNode top = stack.pop();
  13. cur = top.right;
  14. }
  15. }
复制代码

②中序遍历 (非递归)

  1. // 中序遍历
  2. void inOrderTraversal(TreeNode root){
  3. if(root == null) return ;
  4. Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
  5. TreeNode cur = root;
  6. while(cur != null || !stack.empty()) {
  7. while (cur != null) {
  8. stack.push(cur);
  9. cur = cur.left;
  10. }
  11. TreeNode top = stack.pop();
  12. System.out.print(top.val + " ");
  13. cur = top.right;
  14. }
  15. }
复制代码

③后序遍历 (非递归)

  1. // 后序遍历
  2. void postOrderTraversal(TreeNode root){
  3. if(root == null)
  4. return;
  5. TreeNode cur = root;
  6. TreeNode pre = null;//用来指向上一个被打印的元素
  7. Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
  9. while(cur != null || !stack.empty()){
  10. while(cur != null){
  11. stack.push(cur);
  12. cur = cur.left;
  13. }
  14. cur = stack.peek();
  15. if(cur.right == null || pre == cur.right ){
  16. stack.pop();
  17. System.out.print(cur.val+" ");
  18. pre = cur;
  19. cur = null;
  20. }else {
  21. cur = cur.right;
  22. }
  23. }
  24. }
复制代码

来源：https://blog.csdn.net/wwzzzzzzzzzzzzz/article/details/121793146
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